Un límite en cálculo es un valor numérico al que se acerca una función cuando los valores de entrada se acercan a un punto determinado. Los límites nos ayudan a analizar el comportamiento de funciones en puntos específicos o cuando los valores de entrada se acercan a un valor particular. Desempeñan un papel importante en la definición de derivadas e integrales, que son conceptos importantes en cálculo.

La historia de este concepto se remonta a la antigua Grecia donde filósofos como Zenón consideraban la idea de subdivisiones infinitas. Después de reflexionar sobre la idea, Zenón Arquímedes hizo un aporte significativo a este concepto. Al final,

Fueron Isaac Newton y Gottfried Leibniz quienes formalizaron el concepto en el siglo XVII.

Este artículo aclarará el concepto de límite en cálculo, su definición, propiedades y cómo calculamos el límite en cálculo con la ayuda de ejemplos.

¿Cuál es el límite de cálculo?

Es un valor al que se acerca una función a medida que la entrada (normalmente X ) se acerca cada vez más a un número uno preciso .

Esto nos dice qué sucede con la salida de la función cuando nos acercamos mucho al valor elegido de uno . La notación utilizada para representar el límite de una función es Lim .

La notación matemática para un límite es:

lím _{x → a} f(x) = L

O:

• La variable X se aproxima al valor uno.

• La función examinada se denota por f(x).

• L es el valor al que se acerca la función cuando X se acerca a uno .

 

Tipos de límites en el cálculo.

El límite en el cálculo tiene varios tipos que se utilizan para borrar la funcionalidad de la función. Algunos de los tipos importantes son:

1. Límites unilaterales
2. Límite en un punto finito
3. límite al infinito

1.    Límites unilaterales

Los límites unilaterales se abordan desde la izquierda o desde la derecha de un punto en particular.

Se señalan de la siguiente manera:

• El límite izquierdo: lim _{x → a-} f(x) representa el límite cuando X se acerca a uno por la izquierda.
• El límite derecho: lim _{x → a+} f(x) designa el límite cuando X se aproxima a a por la derecha.

2.    Límite en un punto finito

Se dice que un límite es finito si la función tiende a un valor finito específico cuando x se acerca al punto dado. En símbolos, lim (x → a) f(x) = L donde L es un número real finito.

3.    límite al infinito

Este tipo de límite se ocupa del comportamiento de una función cuando X se vuelve muy grande o muy pequeña. Hay dos variantes:

• lim x → _+∞ f(x) representa el límite cuando X se acerca al infinito positivo.
• lim _{x → -∞} f(x) representa el límite cuando X se acerca al infinito negativo.

Métodos para resolver limitaciones computacionales.

Existen muchos métodos y reglas para calcular límites, según el tipo de límite y la función involucrada. Algunos elementos importantes se analizan a continuación:

• La regla del hospital.
• Reemplazo directo.

La regla de L’Hôpital

Esta regla se utiliza cuando los límites tienen formas indeterminadas. Si encontramos una forma indeterminada como 0/0 o infinito/infinito , entonces podemos diferenciar el numerador y el denominador por separado y luego tomar el límite.

La Regla de L’Hôpital establece que:

Lim _{x → a} [f(x)/g(x)] = lim _{x → a} [f'(x)/g'(x)] bajo ciertas condiciones.

Reemplazo directo

Podemos usar sustitución directa si la función es continua en el punto donde queremos encontrar el límite. Simplemente reemplace X con el valor uno en la función, y ese será el límite.

El cálculo manual con estos métodos puede resultar complicado y llevar mucho tiempo. Por lo tanto, para evitarlo, puede utilizar la calculadora de limites de allmath para obtener resultados rápidos y precisos. Resolverá todos los problemas de límites utilizando el método deseado en cuestión de segundos.

Propiedades de límites

Estas propiedades de los límites en cálculo se utilizan para analizar y calcular los límites de funciones a medida que se acercan a valores exactos o al infinito.

1. Límite de una constante

• El límite de una función constante es la constante misma.

Si Lim _{x → a} [C. f(x)] = C. lim _{x → a} [f(x)]

2. Límite de una suma/diferencia

• El límite de la suma o diferencia de dos funciones es igual a la suma o diferencia de sus límites.

si lim _{x → a} f(x) = L y lim _{x → a} g(x) = M

Entonces, lim _x→a [f(x) ± g(x)] = L ± M.

3. Límite de un producto

• El límite del producto de dos funciones es igual al producto de sus límites.

Si lim _x→a f(x) = L y lim _{x → a} g(x) = M

Entonces, lim _{x → a} [f(x) * g(x)] = L * M.

4. Límite de un cociente

• El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de sus límites pero el límite dado del denominador no es cero.

si lim _x→a f(x) = L y lim _x→a g(x) = M (donde M no es igual a 0).

Entonces, lim _x→a [f(x) / g(x)] = L / M.

5. límite de potencia

• El límite de potencia de una función es igual a la potencia del límite de la función.

Si Lim _x→a f(x) = L

Entonces, Lim _{x → a} [f(x) ⁿ ] = L ⁿ para cualquier número real n .

6. Límites de funciones compuestas

• El límite de una función compuesta es la composición de los límites.

Si lim _{x → a} f(x) = L y lim _{y → L} g(y) = M

Entonces, lim _x→a g(f(x)) = M.

 

Ejemplos relacionados con el límite en el cálculo.

Esta sección aclarará cómo el método de discusión anterior nos ayuda a resolver la limitación de diferentes funciones.

Ejemplo 1:

Encuentre el límite de la función cuando x tiende a 2:

lím _{x → 2} (3x-1)

Solución:

La función dada es continua en un punto dado.

Para que podamos usar la sustitución directa, simplemente reemplazaremos X con el valor uno en la función.

lím _{x → 2} (3x – 1) = 3(2) – 1 = 6 – 1 = 5

El límite es 5.

Ejemplo 2

Encuentre el límite cuando x tiende a 0:

lím _{x → 0} (sen(x)/x)

Solución:

Este es un límite trigonométrico bien conocido. Aquí podemos usar sustitución directa o la regla de L’Hôpital.

Usando sustitución directa:

Lim _{x → 0} (sin(x)/x) = sin(0)/0 = 1/0

Esta es una forma indeterminada, podemos aplicar la regla de L’Hôpital:

= lím _{x → 0} (sen(x) / x)

= lím _{x → 0} (cos(x)/1)

= cos(0)/1

= 1

Por tanto el límite es 1.

Ejemplo 3

Encuentre el límite cuando x tiende a infinito:

lím _{x → ∞} (2x ² – 3x + 1) / (3x ² + 2)

Solución:

Nos centramos en los términos principales para enfoques infinitos:

lím _{x → ∞} (2x ² – 3x + 1) / (3x ² + 2)

= lím _{x → ∞} (2x ² /3x ² ) = 2/3

Por tanto, el límite es 2/3.

Conclusión

Un límite en cálculo determina el valor al que se acerca una función cuando su entrada se acerca a un punto particular. La noción de límite, crucial para definir derivadas e integrales, fue formalizada por Newton y Leibniz. Los límites pueden ser unilaterales, finitos o infinitos.

Los métodos para resolver límites incluyen la regla de L’Hôpital y la sustitución directa. Las propiedades de límite ayudan a analizar el comportamiento de funciones, como límites de sumas, productos, cocientes y funciones compuestas.